Эффект Джанибекова

Сегодня кое-что из области физики для любознательных: Эффект Джанибекова, также известная как теорема о теннисной ракетке, объясняет нестабильность вращающихся тел с тремя различными моментами инерции. Момент инерции указывает на сопротивление тела изменению его вращательного движения. Это зависит от конкретной оси вращения и геометрии. Понимание динамики классических гамильтоновых систем по-прежнему остается важной целью с множеством приложений, выходящих далеко за рамки их математического описания. В случае интегрируемых систем с несколькими степенями свободы эффективный подход основан на геометрическом анализе для характеристики динамических свойств механической системы. Такие геометрические явления обычно являются источником устойчивости определенных эффектов, которые можно наблюдать экспериментально. один из них - т.н. Эффект Джанибекова или также называемый эффектом теннисной ракетки.

Эффект Джанибекова в невесомости МКС

Превосходный и подробный теоретический вывод этого явления можно найти здесь (https://arxiv.org/pdf/1606.08237.pdf). Здесь мы имеем дело с человеком, который немного грубее, но, тем не менее, объясняет это явление. К сожалению, здесь необходимы некоторые предварительные знания о динамике твердых тел:

Рассмотрим матрицу инерции (диагонализованную) с моментами инерции I1, I2 и I3 такими, что I1 является наименьшим, а I3 наибольшим. Теперь рассмотрим движение вокруг оси главного момента инерции I3. Вектор угловой скорости:

где эпсилоны - это небольшие возмущения в двух других главных осях. Если вы теперь вставите это в уравнения Эйлера, вы получите:

Теперь продифференцируем второе уравнение Эйлера:

Замена омега-1 и омега-3 в нашем выражении, и поскольку умножение эпсилонов делает их достаточно маленькими, чтобы их можно было игнорировать,

Это дает нам дифференциальное уравнение для Омега 2 вида:

Базовое решение:

Следовательно, мы знаем, что беспорядок вращения в оси омега-1 стабилен и совершает периодические движения, или, говоря терминологией движения твердого тела, что он совершает прецессию. Расстройство омега-3 следует аргументу, аналогичному приведенному выше, и я оставлю его в качестве упражнения, чтобы вы поработали над ним. Для промежуточной оси имеем:

Вставляем в уравнения Эйлера:

Дифференцирование третьего уравнения Эйлера дает:

Заменим наши производные выражения:

Теперь переставим и выведите следующее дифференциальное уравнение:

Обратите внимание, что коэффициент теперь положительный, что приводит к экспоненциальным решениям:

Это решение показывает, что омега-3 нестабильна вдоль промежуточной оси с нарушением омега-2!

Что это значит?

Теперь мы можем объединить все, что мы получили и научились понимать теорему. Проще говоря: если вращение вдоль промежуточной оси нарушено, получается дифференциальное уравнение с экспоненциальными решениями. Это приводит к нестабильному движению, в отличие от точного движения, наблюдаемого в двух других осях. Это довольно неожиданный результат. У такой теоремы нет интуитивного подтверждения, так как мы не можем представить, почему промежуточный момент инерции приводит к нестабильному вращению. Похоже, это чисто математический характер.